z cyrklem na Słońce – starożytne wyznaczenie odległości


Aby coś zmierzyć należy przyłożyć miarkę do początku przedmiotu i na końcu odczytać wynik na podziałce tejże miarki. Tymczasem starożytni Grecy odważyli się zmierzyć coś, do czego sięgnąć nie sposób. Czy cyrkiel okazał się lepszy niż motyka?

Znalazłem w Wikipedii wytłumaczenie metody Arystarcha. Przerysowałem to po swojemu i mam problem (ale dopiero na końcu). Stosowane u mnie oznaczenia są takie same jak w pierwszym wpisie o obliczeniach Arystarcha czyli:

  • duże litery oznaczają punkty,
  • małe litery d oznaczają dystans z Ziemi do obiektu, a r – promień obiektu: oznaczenia k,z,s – dotyczą Księżyca, Ziemi, Słońca, dKA w obliczeniach oznacza odległość od K do A.

Arystarch wyznaczył na podstawie zaćmienia taką konstrukcję:

Równość wielkości kątowej Księżyca i Słońca obserwowanych z Ziemi
determinuje nie tylko efekt zaćmienia Słońca,
ale i proporcje wyznaczonej konstrukcji

Z podobieństwa trójkątów ABC oraz BED wynika:

[1.1] (rs – dKA to odc. DE, a rz – dKA to odc. BC)
dk = rz – dKA albo rs – dKA = rz – dKA
ds rs – dKA ds dk

korzystając z obserwacji, że pozorne wielkości Słońca i Księżyca są takie same czyli takie same są kąty KZG i SZD (z rysunku powyżej to niestety nie wynika, trójkąt musiałby być o wiele bardziej spłaszczony) mamy również podobieństwo trójkątów KZG i SZD (na rysunku zabrakło kredek…), ale chodzi o poniższą proporcję:

Pozorna wielkość Księżyca i Słońca (wielkość kątowa) obserwowanych z Ziemi jest taka sama.

[1.2] dk = rk
ds rs

Korzystając z [1.2] można więc zamienić w [1.1] dk na rk oraz tak samo ds na rs  i mamy:

[1.3] rs – dKA = rz – dKA
rs rk

a z tego rozpisujemy na pojedyncze ułamki:

[1.4] 1 – rz = rz dKA
rs rk rk

przenosząc część na drugą stronę mamy:

[1.5] rz + rz = 1 + dKA
rk rs rk

Całość tych wyliczeń należy doprowadzić do takiej postaci, by móc użyć znanych z obserwacji wartości czyli [1.6]  n = dKA/rk, które oznacza ile razy Księżyc mieści się w cieniu Ziemi oraz [1.7] x = rs/rk, które oznacza proporcje rozmiarów Słońca do rozmiarów Księżyca.

Wyciągnijmy jeszcze z lewej strony równania [1.5] przed nawias rz/rk:

[1.8] rz ( 1 + rk )  =  1  + dKA
rk rs rk

i by uzyskać drugie równanie dla Słońca[1], podobne równanie z [1.5] przed nawias wyciągamy rs/rz:

[1.9] rz ( rs +  1 )  =  1  + dKA
rs rk rk

podstawiając odpowiednio do [1.8] oraz [1.9] zależność  n z [1.6] oraz x z [1.7] mamy:

[1.10] rz ( 1 + x ) = 1 + n
rk x

oraz

[1.11] rz ( 1 + x ) = 1 + n
rs

ostatecznie stosunek rozmiaru Księżyca do rozmiaru Ziemi z przekształcenia [1.10] (równanie [1.10] trzeba odwrócić do góry nogami, by rk było w liczniku) wyraża się wzorem:

[1.12] rk =  1 + x
rz x (1 + n)

a stosunek rozmiaru Słońca do rozmiaru Ziemi (równanie [1.11] również trzeba odwrócić do góry nogami, by rs było w liczniku) wyraża się wzorem:

[1.13] rs =  1 + x
rz  1 + n

Dla n = 2 oraz  x = 19,1 dostajemy:

  • rk = 0.35 rz
  • rs = 6.7 rz

Do tego miejsca wszystko jest jasne. Jak Słońce. Ale tu autorowi artykułu w Wikipedii zabrakło cierpliwości (wiedzy?) i robi karkołomny skok myślowy od razu do gotowego równania na odległość do Księżyca i Słońca:

http://en.wikipedia.org/wiki/On_the_Sizes_and_Distances_%28Aristarchus%29

Królik z kapelusza – S to ds, s to rs, t to dz, pi to pi, a theta to rozmiar kątowy promienia

Skoro jednak znamy rozmiar kątowy obiektu i jego rozmiar względny (w odniesieniu do rozmiaru Ziemi) to mamy wszystko, by poznać odległość do niego. Skorzystajmy z proporcji: długość orbity (obwód) tak się ma do pełnego kąta(360° – wartość tę można traktować jak współczesne stopnie lub po prostu jako części bez stosowania symbolu °) jak rozmiar obiektu do jego rozmiaru kątowego. W tym przypadku dowód oparty jest na użyciu rozmiaru kątowego promienia Księżyca, a nie średnicy – θ [2]:

[1.14] 2 π dk = rk
360 θ

stąd d po wstawieniu rk = 0.35 rz czyli wyrażając w rozmiarach Ziemi:

[1.15] dk = 180 * 0.35 rz
π θ

Wartość 0.35 to w artykule przedstawiony symbolami ułamek (l/t). Oczywiście Arystarch mógł w tym miejscu zamiast 360 podstawić 700 (tyle Księżyców mieści się na pełnym okręgu nieba – dane od Babilończyków), a zamiast θ  po prostu 1/2 tarczy Księżyca. Poza tym Arystarch wziął przybliżoną wartość π = 3.

Do wzoru w takiej postaci powinniśmy wziąć połowę rozmiaru kątowego obserwowanej tarczy Księżyca czyli θ = 0.3 dostajemy odległość do Księżyca i analogicznie do Słońca[3] wyrażoną w promieniach Ziemi:

  • dk = 67 rz
  • ds = 1277 rz

Znów brak proporcji – kąt o wartości pół stopnia byłby źle widoczny.

To duża różnica w porównaniu z informacji w tym artykule jednak, że Arystarch wziął  θ = 1 i wg tamtego wzoru otrzymał:

  • dk = 20 rz
  • ds = 380 rz

Dziwne, bo podstawieniu do wzoru wychodzi:

  • dk = 21 rz
  • ds = 401 rz

Nie dysponujemy oryginałem. Obliczenia Arystarcha opisuje Archimedes w swym dziele O liczeniu piasku. Chcąc obliczyć ilość piasku we Wszechświecie opiera się na oszacowaniu przez Arystarcha wielkości Układu Słonecznego, sam jednak podaje wielkość kątową Księżyca i Słońca równą 1/200 kąta prostego czyli 27′. Wg autora tegoż artykułu Archimedes inaczej zinterpretował słowo meros[4], które może znaczyć rozmiar pola zodiaku (30°) albo starożytną jednostkę kątową równą 7°30′. Błędnie przyjęty rozmiar 1/15 zodiaku da właśnie 1° zamiast 30′. Willy Ley w książce W niebo wpatrzeni sugeruje, że Arystarch był przede wszystkim matematykiem zapatrzonym w geometrię, nie tak istotne mogło być uzyskanie wyniku, ale sama koncepcja i metoda rozwiązania problemu, a że matematycy ćwiczyli geometrię na obiektach nieba, to przyczynili się do rozwoju astronomii. Niechcący jakoby…

Po Arystarchu wyznaczeniem tych odległości zajął się ponownie Hipparchos (190-125 p.n.e.). Wyznaczona przez niego odległość Księżyca od Ziemi – 59 promieni Ziemi – różni się już zaledwie o 2% od współcześnie przyjmowanej średniej odległości Księżyca.

  • dk = 33,6 d [30,2 d]
  • ds = 1245 d [11726 d]
  • 2rk (średnica) = 0,33 d [0,27 d]
  • 2rs (średnica) = 12,33 d [108,9 d]
    ~ Jakub Bilski (UW)

Posługując się oszacowaniem Arystarcha (błędnym) stosunku odległości Księżyca i Słońca wyliczył odległość do Słońca jako 1200 razy większą od długości promienia Ziemi, czyli około 7.6 milionów km. Dopiero w XVI wieku naszej ery ponownie zweryfikowano te wyniki.


[1] Początkowo miałem z tym problem, bo za θ uparłem się podstawiać rozmiar kątowy średnicy i ostateczny wzór był inny niż w artykule. Postanowiłem do kogoś o tym napisać i wyjaśniając w mailu swój problem znalazłem błąd. Czyli mam rację co do pożyteczności zasady: wyjaśniaj innym, aż sam zrozumiesz. Jeśli ktoś czytał ten wpis wcześniej, końcówka była zupełnie inna…

[2] Właściwie to można zrezygnować z wyprowadzania wzoru odległości do Słońca – [1.9] – [1.11] – [1.13] i na końcu skorzystać tylko z proporcji dystansu z Ziemi do Księżyca i z Ziemi do Słońca (1:19).

[3] Powszechnie wyniki starożytnych obliczeń podaje się w jednostce [d], która jest średnicą Ziemi, a nie promieniem. Warto o tym pamiętać, bo w przypadku rozmiaru obiektu nie ma to znaczenia (gdy podajemy średnicę Księżyca w średnicach Ziemi lub promień Księżyca w promieniach Ziemi) , ale wynik ma inną wartość dla odległości.
W ten sposób podaje np. Jakub Bilski (UW) wyniki obliczeń wg Arystarcha – w nawiasach wartości współczesne:

  • Odległość Księżyca od Ziemi: 9,5 d [30,2 d]
  • Odległość Ziemi od Słońca: 180 d [11726 d]
  • Średnica Księżyca: 0,36 d [0,27 d]
  • Średnica Słońca: 6,75 d [108,9 d]

Wyrażona w tych jednostkach odległość do Słońca ds = 1277 rz wynosić będzie 637 d. Widać tu, jak duży błąd wynika z oszacowania rozmiaru kątowego. Wyliczenie rozmiaru nie wymaga pomiaru wielkości kątowej, stąd wyniki są bliższe.

[4]
-merous: an ending meaning „-parted,” added to a number to create an adjective. Thus „8-merous” means „having 8 parts.” The suffix, frequently used by botanists, is derived from the Greek meros, „part.”~A Dictionary of Units of Measurement, © Russ Rowlett and the University of North Carolina at Chapel Hill

In 2009, it was revealed that misunderstanding the ancient angular unit „meros” appears to have introduced an error by a factor of 4 into several calculations, which explains the work’s bizarre demands that central lunar eclipses last ½ a day, and that the Moon retrogrades against the stars every day. The testimony of Archimedes indeed disagrees on the solar diameter by a factor of 4. In 2011, it was first pointed out that the work’s best-known data, its 87° half-Moon solar elongation-limit and 2° solar diameter, are mathematically incompatible with each other, given the precision of human vision
.
~ Wikipedia: On the Sizes and Distances (Aristarchus)


Advertisements
Ten wpis został opublikowany w kategorii Historia, starożytni Grecy i oznaczony tagami , , , , , , . Dodaj zakładkę do bezpośredniego odnośnika.

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s