jak duże jest Słońce? – (nie)pierwsze podejście


http://sky-watching.co.uk/2012/08/31/astronomy-events-september-2012/
foto: A.Welbourn

Pomysł był prosty – jeżeli Księżyc jest w I kwadrze czyli wygląda jak litera D, to znaczy, że Ziemia, Księżyc i Słońce tworzą trójkąt prostokątny.

A przecież starożytni Grecy kochali geometrię…

Jedyne zachowane dzieło Arystarcha z Samos O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca nie jest pierwszym dziełem na ten temat, z innych przekazów zawartych w późniejszych dziełach wspomina się o próbach i wynikach podobnych pomiarów[1].

Arystarch oparł swoje obliczenia na następujących założeniach i obserwacjach:

  • Księżyc odbija światło Słońca[2]
  • Ziemia jest środkiem sfery Księżyca
  • W czasie pierwszej (i trzeciej) kwadry obserwator znajduje się w płaszczyźnie rozdzielającej jasną i ciemną stronę Księżyca
  • W czasie kwadry odległość (kątowa) Księżyca od Słońca jest mniejsza od czwartej części okręgu (ekliptyki) o 1/30 jego część (około 87 stopni kątowych)

Jak wspomniałem wcześniej, pomimo tego, że starożytni Grecy nie znali ułamków, to mieli już wystarczający aparat matematyczny, oparty przede wszystkim na geometrii. Wydaje mi się, że najtrudniejsze i najważniejsze w tej metodzie było dokładne zmierzenie kąta pomiędzy Księżycem w pierwszej kwadrze, obserwatorem a Słońcem. Z założenia, że w pierwszej kwadrze obserwator znajduje się w płaszczyźnie rozdzielającej jasną i ciemną stronę Księżyca wynika pozycja obiektów Słońce, Księżyc i Ziemia tworząca trójkąt prostokątny.

Miałem ambitne plany opisać metody tych obliczeń zgodnie z zasadą: wyjaśniaj innym tak długo, aż sam zrozumiesz. Myliłby się jednak ten, który twierdziłby, że pomysły Greków są tak proste, że aż banalne. Tym bardziej, że metody te opierają się wciąż na geometrii[3]. Wystarczy wspomnieć, że Arystarch nie mierzył kąta Księżyc-Ziemia-Słońce bezpośrednio, ale doszedł do niego na podstawie wniosków z innych obserwacji. Grecy ustalili dość dokładnie czas miesiąca księżycowego[4] czyli odstępu pomiędzy dwoma kolejnymi nowiami Księżyca (lub pełniami jeśli kto woli, ale nów Księżyca łatwiej zauważyć niż pełnię). Arystarch zauważył, że pierwsza kwadra nie następuje dokładnie w połowie czasu między nowiem a pełnią ale 12 godzin wcześniej (błąd do współczesnych wyników wynosi pół godziny). Dzięki temu oznaczył drugi kąt w trójkącie prostokątnym, jaki tworzą Ziemia, Słońce i Księżyc w pierwszej kwadrze. Osobiście – nic z tego nie rozumiem…

Rysunek poglądowy. Nie są zachowane proporcje trójkąta.

Słońce, Ziemia, Księżyc w kwadrze leżą na wierzchołkach trójkąta prostokątnego o kątach: ∠SKZ=90˚
∠KZS = 1/4·2π·(1-1/30) = 87˚

Według Arystarcha stosunek odległości z Ziemi do Księżyca i z Ziemi do Słońca jest jak 1:19. Kąt ten w rzeczywistości wynosi około 89˚20′. Dla takiej wartości okazuje się, że do Słońca jest 400 razy dalej niż do Księżyca. Gdyby Grecy planowali wyprawę na Słońce, mogłoby im zabraknąć prowiantu.

http://www.ibiblio.org/expo/vatican.exhibit/exhibit/d-mathematics/Greek_math2.html

Karta z greckiego manuskryptu z X wieku.
Najstarszy i najlepszy rękopis zawierający zbiór odpisów wczesnych greckich dzieł astronomicznych Autolikosa, Euklidesa, Arystarcha, Hypsiclesa i Teodozjusza oraz prac matematycznych.
Najbardziej interesujący z nich to „O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca” Aristarcha, w którym oblicza on proporcje odległości do Księżyca i Słońca (Twierdzenie 13).
Zbiory Watykańskie (Vat. gr. 204 fol. 116 recto math06 NS.02)

Znając rozmiar Ziemi (Erastotenes), oraz  biorąc pod uwagę kolejne wnioski z obserwacji:

  • Szerokość cienia Ziemi obejmuje dwa Księżyce (taki wniosek mógł powstać z obserwacji i pomiaru czasu zaćmienia Księżyca, w rzeczywistości cień obejmuje trzy Księżyce)
  • Pełne zaćmienie trwa trzy godziny

wg obserwacji Arystarcha podczas zaćmienia Księżyca cień Ziemi
jest dwukrotnie większy od Księżyca

  • Tarcza Księżyca i tarcza Słońca obejmują 1/50 część Zodiaku czyli 36 minut kątowych (360 stopni / 12 części Zodiaku / 50 części = 0.6 stopnia), w rzeczywistości są to następujące rozmiary:
    • Księżyc — 29′20″ do 33′32″
    • Słońce — 31`31″ do 32′35″

Pozorna wielkość Księżyca i Słońca (wielkość kątowa) obserwowanych z Ziemi jest taka sama.

Ten sam rozmiar kątowy Księżyca i Słońca obserwowanych z Ziemi i zależność odległości w stosunku 1:19 (ZK:ZS = 1:19) pozwala stwierdzić (z podobieństwa trójkątów), że taka sama zależność dotyczy ich wielkości:

dk = rk
ds rs

Rozmiar kątowy obiektu można zmierzyć palcem [5] i przeliczyć na stopnie. Podobne rozmiary kątowe Księżyca i Słońca decydują o efekcie zaćmienia Słońca. Z zaćmienia Księżyca wynikają kolejne zależności:

Należy pamiętać, że cień Ziemi ma kształt stożka, a nie walca

Dalej w rysunkach duże litery oznaczają punkty, a małe litery – odcinki: dk – to dystans z Ziemi do Księżyca, ds – z Ziemi do Słońca, rz, rk, rs to promienie przekroju Ziemi, Księżyca i Słońca (czyli używając zwrotu ‚promień Słońca’ mam na myśli jego rozmiar, a nie emitowane światło :D).

Proporcje wynikające z założeń i obserwacji pozwoliły Arystarchowi
na umieszczenie Księżyca, Ziemi i Słońca w takiej konstrukcji geometrycznej.

Z konstrukcji rysunku powyżej wynika podobieństwo trójkątów ABC i BED:, że BC:AC = DF:AF a to to samo, co BC: ZK = FD:(ZK + ZS).

rz-2rk = rs-2rk
dk ds+dk

Podstawiając do tej zależności poprzednie wyniki otrzymamy rozmiar Księżyca:

rz-2rk = 19rk-2rk
dk 20 dk

Mnożąc obydwie strony przez 20 dostajemy:
20rz – 40rk = 19rk-2rk

a stąd:   20r = 57rk

Obliczony w ten sposób promień Księżyca wynosi około 0.35 promienia Ziemi. Stąd już szybciutko wynika rozmiar Słońca: RS = 19RK = 6.67 RZ

Jak bardzo by się te wyniki różniły od współczesnych, mają istotne znaczenie dla kształtowania się obrazu świata: skoro Słońce jest większe od Ziemi, to powinno być umieszczone w centrum, bo bardziej naturalne wydaje się, że mniejsze obiekty poruszają się wokół większych. Był to dla Arystarcha ważny argument za teorią heliocentryczną.


[1] Arystoteles napisał:

  • „Ci spośród matematyków, którzy starają się obliczyć wielkość obwodu Ziemi, dochodzą do miary 400000 stadiów”.
    ~Arystoteles, O niebie, 298a
  • „ …jak wynika z obliczeń astronomów, Słońce przekracza Ziemię wielkością, odległość natomiast gwiazd od Ziemi jest większa niż od Słońca – podobnie jak odległość Słońca od Ziemi przewyższa odległość Słońca do Księżyca – zatem stożek wyznaczony przez promienie słoneczne zakończy się w niewielkiej odległości od Ziemi i cień Ziemi, który nazywamy nocą, nie przedłuży się do gwiazd”.
    ~Arystoteles, Meteorologika, 345a

[2] Nie jest to takie oczywiste wbrew pozorom – Filolaos z Tarentu uważał, że w centrum świata płonie wieczny ogień – Hestia. Czyje więc światło odbijałby Księżyc?

[3] Poniższa geometria wydaje się nie mieć nic wspólnego z rysunkiem na początku wpisu…

http://info.fuw.edu.pl/~akw/historia.html

Slajd do wykładów Elementy historii nauki i rozwoju fizyki – Andrzej Kajetan Wróblewski, Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2009

[4] Kidinnu (Kidenas, Cidenas – około 379 p.n.e.) – babiloński astronom i matematyk kierował astronomiczną szkołą w Sippar. Jego obliczenia długości miesiąca synodycznego (czyli czasu pomiędzy kolejnymi nowiami) wynoszą 29,530614 dni i różnią się o mniej niż 1 sekunda wobec wartości współczesnej.
Poprzednie oszacowania długości miesiąca różniły się o 114 sekund (Meton, 432 p.n.e.) oraz 22 sekundy (Callippus, 330 p.n.e.).

[5] Zasłaniając obiekt palcem wyciągniętej ręki można w przybliżeniu poznać rozmiar kątowy obiektu:

http://chandra.harvard.edu/photo/scale.html

Rozmiar kątowy (wielkość kątowa, kąt widzenia) obiektu jest to kąt pomiędzy skrajnymi promieniami tworzącymi obraz tego obiektu, dobiegającymi do punktu, w którym znajduje się obserwator. Jednostką rozmiaru kątowego jest radian lub °. (Wikipedia)

http://lcogt.net/spacebook/using-angles-describe-positions-and-apparent-sizes-objects

Astronomowie używają średnicy kątową by opisać pozorny rozmiar obiektu.
Kąt obejmujący średnicę Księżyca w pełni wynosi około 31 minut (zależnie od położenia – perygeum/apogeum)


Reklamy
Ten wpis został opublikowany w kategorii Historia, starożytni Grecy i oznaczony tagami , , , , , . Dodaj zakładkę do bezpośredniego odnośnika.

Jedna odpowiedź na „jak duże jest Słońce? – (nie)pierwsze podejście

  1. Pingback: z cyrklem na Słońce – starożytne wyznaczenie odległości | ⊙,Słońce,Sol,Sun,Солнсе,Sonne,Soleil,Ήλιου

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s