ta okropna matematyka…


Sięgnąć po Słońce nie było łatwo. Przygotowania trwały całe wieki. Potrzebny był pomysł, jakiś punkt odniesienia i aparat matematyczny. Greccy matematycy nie zaczynali jednak od zera – przed nimi byli Babilończycy i Egipcjanie. Poza tym oni jeszcze nie znali zera[1]

Najliczniejsze źródła wiedzy matematycznej Mezopotamii  to około 400 glinianych tabliczek z wykopalisk babilońskich. Większość z nich pochodzi z okresu 1800-1600 p. n. e. i dotyczy m. in. zagadnień ułamków, równań kwadratowych i sześciennych, oraz obliczania liczb naturalnych spełniających twierdzenie Pitagorasa (zanim je Pitagoras zdefiniował).  Babilończycy używali systemu liczbowego o podstawie 60 (system sześćdziesiątkowy) – to właśnie od nich pochodzi podział okręgu na 360 stopni, godziny na 60 minut, a minuty na 60 sekund. Rachuba czasu była pierwotnie związana z obrotem nieba.

http://www.schoyencollection.com/math.html

Old Sumerian on clay, Shuruppak, Sumer, 27th c. BC
Tabliczka z wczesnej dynastii IIIa Shuruppak sprzed prawie 5 tysięcy lat (2700 p.n.e.), prawdopodobnie najstarszy znany zapis matematyczny.

http://www.schoyencollection.com/math.html

Tabliczka z Uruk, Babilonia, ok. 17th c. BC
Problemy cięciwy i średnicy okręgu

Egipska matematyka wywodzi się z utworzenia kalendarza i pomiarów czasu, a ma swoje początki około 4800 lat p. n. e. Egipcjanie nie wprowadzili znaków arytmetycznych chociaż zajmowali się zastosowaniami praktycznymi – pomiarami i rachunkami geometrycznymi i technikami rachunkowymi. Matematyka rozwijała się więc w kontekście konkretnych problemów związanych z budownictwem i pomiarami gruntu, gdy z powodu wylewów Nilu konieczne były nowe pomiary. Najstarsze papirusy zawierają także spisy łupów wojennych oraz obliczenia powierzchni i objętości brył. Nie ma u nich analiz teoretycznych, charakterystycznych dla matematyki greckiej (aksjomaty, dowody).

http://www.skydive.ru/en/masterpieces-of-the-british-museum/1758-rhind-mathematical-papyrus.html

egipski papirus Rhinda z czasów Drugiego Okresu Przejściowego, napisany przez pisarza Ahmose, prawdopodobnie kopia wcześniejszego dokumentu z czasów Amenemhata III, z czasów XII dynastii.
Zawiera 87 zadań z przykładami i rozwiązaniami z algebry, geometrii, postępu arytmetycznego, miar i wag oraz odwrotności (za: Wikipedia).

Współczesne pomiary budowli egipskich dają zaskakujące wyniki o precyzji wykonania tak wielkich budowli, jak np. piramida Cheopsa (Χεωψ – greckie tłumaczenie Khufu).  Stosunek sumy długości krawędzi podstawy wysokości wynosi w przybliżeniu 6.2857, co daje podwojone przybliżenie π z dokładnością większą niż 0.05%. Egipcjanie nie znali zera, ani jako liczby, ani cyfry.

Korzystając z wiedzy Babilończyków i Egipcjan, Grecy nadali matematyce własny kształt – liczba byłą dla nich bytem samym w sobie, a operacjom matematycznym narzucili rygory logiki i formalnego dowodu twierdzeń w oparciu o jej zasady. Był to już rodzaj czystego, abstrakcyjnego myślenia. Grecy rozwinęli przede wszystkim geometrię krzywych stożkowych (okrąg, elipsa, parabola, hiperbola), stworzyli metodę wyczerpywania do obliczeń pól skomplikowanych figur geometrycznych, a przede wszystkim podstawy trygonometrii[2]. Matematyczne dzieła Greków zachowały się przede wszystkim w nowszych, ale licznych odpisach starszych ksiąg. Ciekawy był sposób traktowania liczb – podstawowe wzory algebraiczne interpretowali w sposób geometryczny – dodawanie liczb przedstawiali jako dodawanie odpowiednich odcinków.

Tales z Miletu (ok. 624 – ok. 546) prawdopodobnie poznał geometrię egipską oraz astronomię babilońską w trakcie podróży handlowych. Przypisuje się mu sformułowanie pięciu twierdzeń Euklidesa oraz stosowanie ich obliczania wysokości piramid czy odległości statków od brzegu. Prawdopodobnie dzięki danym babilońskich astronomów przewidział on pełne zaćmienie Słońca w 585 r. p.n.e.  Od niego pochodzą pojęcia: punkt, prosta, płaszczyzna, twierdzenie, teoria.
Edukacja Pitagorasa z Samos (ok. 582 – ok. 507) miała podobne źródła. Pitagoras był założycielem sekty, której zasadą była wiara w ścisły związek liczb ze strukturą i funkcjonowaniem świata. Udowodnił on podstawowe twierdzenia geometryczne, głównie dotyczące podobieństwa figur i wprowadził dowód dedukcyjny.
Pitagorejczycy wierzyli że liczby są faktyczną istotą świata, a świat wyraża się przez matematyczny opis cykli, harmonii i proporcji[3]. Liczbom przypisywali atrybuty boskie i magiczne. Wiedza pitagorejczyków była przekazywana ustnie, a upowszechniła się dopiero po rozpadzie wspólnoty około 450 r. p.n.e. Od nich pochodzi złoty podział i złota liczba Φ. Pitagorasowi przypisuje się także uznanie gwiazdy wieczornej i porannej (Jutrzenki) za ten sam obiekt – planetę Wenus. Z doktryny Pitagorejczyków wywodzi się kosmologiczny system Filolaosa z ogniem centralnym jako środkiem świata. Nie był to więc system geocentryczny ani heliocentryczny.

System liczbowy Greków był oparty na oznaczaniu liczb kolejnymi literami alfabetu w systemie dziesiętnym (po 10 następowało 20, a po 100 – 200). Ograniczało to możliwość zapisu do największej liczby równej 100 milionów. Ślad po takiej transkrypcji pozostał w tekstach bizantyjskich, w których strony numerowano za pomocą liter i czyni się tak nadal we wschodniochrześcijańskich tekstach religijnych. Oczywiście na podobny sposób zapisu wpadli też Rzymianie, ale ich rozwiązanie okazało się bardzo niepraktyczne i poprzez brak możliwości łatwego zapisu operacji matematycznych zostało z czasem porzucone na rzecz cyfr arabskich (dopiero w średniowieczu). Rzymskie liczby pozostały jedynie w numeracji miesięcy czy wieków. I rzymski i grecki system są typem addytywnym – znaczenie litery-cyfry nie zależy od miejsca w szeregu zapisu.

Przypisywanie literom liczb doprowadziło do powstania numerologii i Kabały.

Po Talesie i Pitagorasie pojawili się kolejni starożytni matematycy, którzy rozwijali tę naukę, a wraz z nią również astronomię, geodezję, kartografię, techniki nawigacyjne i przeróżne inne dziedziny techniki. Nie ograniczali się oni zazwyczaj do żadnej ścisłej dziedziny. Byli to przede wszystkim filozofowie przyrody, a określone przez nas dziedziny nauki były po prostu różnymi narzędziami poznania świata.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Szko%C5%82a_Ate%C5%84ska

Szkoła Ateńska – fresk Rafaela, 1509–1510 w Pałacu
Fresk przedstawia spotkanie niektórych wielkich filozofów starożytności.
W centrum stoją Platon i Arystoteles. Oczywiście w rzeczywistości wszyscy nigdy się nie spotkali…

Matematycy starożytnej Grecji znali pojęcie cięciwy. Trygonometria zaczęła kształtować się już w starożytności, głównie w związku z rozwojem astronomii i technik nawigacyjnych. Wiele z twierdzeń trygonometrycznych było znanych starożytnym Grekom, jednak w postaci operowania długościami łuków i cięciw, a nie miarami kątów i stosunkami długości boków trójkąta. Pierwsze tablice trygonometryczne ułożył Hipparch (tablice odpowiadających sobie długości cięciwy i łuku dla różnych kątów).

Elementy Euklidesa złożone z 13 ksiąg z IV wieku p.n.e. to obszerny traktat arytmetyczny i geometryczny (przetłumaczony w VIII na arabski, a na łacinę dopiero w XII wieku). Zawiera on zapisy odpowiadające późniejszym wzorom cosinusów dla kątów rozwartych i ostrych, a twierdzenia dotyczące długości cięciw są odpowiednikiem sinusów. Przez całe wieki należał do kanonu nauczania matematyki.

http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/

Księga II, postulat 6
Najstarszy fragment papirusu z Elementami Euklidesa.
Datowany na lata 75-125 n.e., został wydobyty w 1896-7 ze stosu starożytnych śmieci miasta Oksyrynchos.

Wzorując się na babilońskich astronomach zaczęto używać podziału kąta pełnego na 360 stopni. Arystarch z Samos w swoim dziele O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca (ok. 260 p.n.e.) podawał kąty w ułamkach kąta prostego.

Klaudiusz Ptolemeusz rozbudował w swoim dziele Almagest (z roku 140 n.e.) koncepcję „cięciw na okręgu” Hipparcha. Była to równie znacząca jak Elementy starożytna praca w dziedzinie matematyki, a zwłaszcza trygonometrii oraz astronomii. Tablice Ptolemeusza Klaudiusza zawierały długości cięciw okręgu równoważne wartościom funkcji 2sinx w zakresie od 0° do kąta prostego, badał on też własności trójkątów sferycznych.

Wraz ze zmierzchem starożytności wiedza matematyczna Greków została w Europie zatracona. Korzystano wprawdzie z operacji dodawania, odejmowania, dzielenia i mnożenia (przy pomocy cyfr rzymskich), lecz zapisywano je słownie. Znano również już tylko elementarną geometrię. Obliczenia prowadzono na liczydłach, system addytywny zapisu cyfr nie pozwalał na obliczenia piśmienne. Ośrodki naukowe skupione przede wszystkim w instytucjach kościelnych były bardzo oporne wobec zmian. Papież Sylwester II jako pierwszy wprowadził w Europie system cyfr indoarabskich oparty na układzie pozycyjnym (wartość cyfry zależy od miejsca w szeregu zapisu) dopiero w X wieku. Był wybitnym matematykiem, ale właśnie ze względu na swoją rozległą matematyczną wiedzę, podejrzewano go o kontakty z siłami piekielnymi. Posługiwał się abakusem (rodzaj rzymskiego liczydła), co u niewykształconych ludzi wywoływało nieufność i podejrzenie o czary. Kolejnym reformatorem był Fibonacci, który w Liber abaci wyjaśnia, jak posługiwać się nowym systemem. W tamtych czasach w północnej Europie umiejętności na poziomie szkoły podstawowej były znane nielicznym i jeszcze przez wiele lat osoby posługujące się arabskim systemem cyfr obawiały się prześladowań i oskarżeń o czary.

http://en.wikipedia.org/wiki/Pope_Sylvester_II

Geometriae Isagoge, fol 12v.
Treaty on the geometry of Gerbert of Aurillace
Bavaria 12th century.
Schoenberg collection

http://en.wikipedia.org/wiki/Pope_Sylvester_II

Papież Sylwester II i diabeł
Ilustracja z Cod. Pal. germ. 137, Folio 216v Martinus Oppaviensis, Chronicon pontificum et imperatorum, ~1460

Właściwa historia matematyki europejskiej rozpoczyna się dopiero z obszernymi łacińskimi tłumaczeniami dzieł arabskich w XII i XIII wieku, zwłaszcza prac Al-Chuwarizmiego, a także greckich i hebrajskich rękopisów matematycznych.

[1] Duchowość starożytna odczuwała zasadę niewymierności, burzącą posągowy szereg liczb całkowitych [naturalnych], reprezentantów doskonałego w sobie porządku świata, jako występek przeciw samej Boskości. Uczucie to jest widoczne u Platona, w dialogu Timajos.
Wraz z przemianą nieciągłego szeregu liczbowego [charakterystycznego dla Starożytnej Grecji] w [zachodnioeuropejską nowoczesną ideę] kontinuum zakwestionowaniu ulega nie tylko antyczne pojęcie liczby, lecz i samo pojęcie antycznego świata. Rozumie się teraz, iż w starożytnej matematyce nie są nawet możliwe liczby ujemne, wyobrażalne dla nas bez żadnego trudu, a tym bardziej zero jako liczba — spekulatywny twór godnej podziwu energii abstrahowania, który dla duszy indyjskiej (ona właśnie wykoncypowała go jako podstawę pozycyjnych układów numeracyjnych) stanowi wręcz klucz do sensu bytu. Wszystko zrodzone z rozbudzonej w antyku świadomości zostało więc podniesione do rangi czegoś rzeczywistego wyłącznie dzięki rzeźbiarskiemu poczuciu ograniczoności.
– O. Spengler, 1917, Zmierzch zachodu, Monachium, przeł. J. Marzęcki, Warszawa 2001

 [2] Grecy nie znali słowa trygonometria. Po raz pierwszy słowo to pojawiło się w 1595 roku w Trigonometria: sive de solutione triangulorum Tractatus brevis et perspicuus – pracy niemieckiego teologa kalwińskiego z XVI wieku Bartholomeo Pitiscusa,  pochodzącego z Zielonej Góry matematyka i  astronoma (od 1603 roku profesor matematyki na uniwersytecie w Heidelbergu). Jemu także przypisuje się także wprowadzenie znaku przecinka w zapisie ułamków dziesiętnych.
Trygonometria pochodzi od gr. τρίγωνος (trigōnos) – trójkątny i łac. -metria (gr. μέτρον (metron) – miara, pręt mierniczy) i dosłownie oznacza naukę o trójkątach.

[3] Według legendy zaszła następująca historia: Pewnego razu kilkoro pitagorejczyków wyprawiło się w podróż morską. W trakcie podróży jeden z nich odkrył, że wynik jego obliczeń nie jest liczbą wymierną. Pozostali pitagorejczycy uświadomili sobie wagę tego odkrycia i – nie chcąc dopuścić, aby inni ludzie dowiedzieli się o tym przerażającym fakcie – zamordowali feralnego odkrywcę, wrzucając go do morza.
– Ryszard Paweł Kostecki, Krótka historia matematyki,  http://www.fuw.edu.pl


Advertisements
Ten wpis został opublikowany w kategorii Historia, starożytni Grecy i oznaczony tagami , , , , , , , , , , , . Dodaj zakładkę do bezpośredniego odnośnika.

Jedna odpowiedź na „ta okropna matematyka…

  1. Pingback: jak duże jest Słońce? – (nie)pierwsze podejście | ⊙,Słońce,Sol,Sun,Солнсе,Sonne,Soleil,Ήλιου

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s